אפיגרף (מתמטיקה)

פונקציה (בשחור) והאפיגרף שלה (בירוק)

במתמטיקה, האֶפִּיגְרָף של פונקציה f : Rⁿ→R היא קבוצת הנקודות שנמצאות מעל או על הגרף:

$\text{epi}f=\{(x,\mu ):x\in {ℝ}^n,\mu \in ℝ,\mu \ge f(x)\}\subseteq {ℝ}^{n+1}.$

האפיגרף המוגבל הוא האפיגרף ללא הגרף עצמו:

${\text{epi}}_{S}f=\{(x,\mu ):x\in {ℝ}^n,\mu \in ℝ,\mu >f(x)\}\subseteq {ℝ}^{n+1}.$

הגדרה זהה קיימת לפונקציה שלוקחת ערכים מהתחום R ∪ ∞., ובמקרה זה, האפיגרף הוא קבוצה ריקה אם ורק אם f זהה לאינסוף ($f\equiv \mathrm{\infty }$). אפשר גם להגדיר את האפיגרף כאשר התמונה היא כל מרחב וקטורי. בצורה דומה, אפשר להגדיר את קבוצת הנקודות שמתחת לגרף, שהיא ההיפוגרף. מאפיינים של האפיגרף הם:

• פונקציה היא קמורה אם ורק אם האפיגרף שלה היא קבוצה קמורה.
• פונקציה היא פונקציה רציפה למחצה אם ורק אם האפיגרף שלה היא קבוצה סגורה.

תבנית:אנליזה מתמטית