משפחה מעריכית

בהסתברות ובסטטיסטיקה, משפחה מעריכית (או לפעמים: מחלקה מעריכית) היא קבוצה של התפלגויות בעלות צורה מסוימת, המתוארת להלן. צורה מיוחדת זו נבחרה מסיבות של נוחות מתמטית, עקב מספר תכונות אלגבריות שימושיות, וכן עקב כלליותה, שכן התפלגויות ממשפחה מעריכית הן התפלגויות מאוד "טבעיות" ונפוצות. המושג "משפחה מעריכית" מיוחס לאדווין פיטמן תבנית:אנג לג'ורג' דרמויס תבנית:אנ ולברנרד קופמן תבנית:אנ בשנים 1935–1936.

המשפחה המעריכית של ההתפלגויות מספקת מסגרת כללית לבחירה של אלטרנטיבה אפשרית אחרת לניסוח הפרמטרי של ההתפלגות, במונחים של "פרמטרים טבעיים", וכן להגדרת סטטיסטים שימושיים הידועים בתור: "הסטטיסטים הטבעיים המספיקים" של המשפחה (ראו להלן).

דוגמאות

רוב ההתפלגויות הידועות ביותר שייכות למשפחה המעריכית, למשל:

• התפלגות נורמלית
• התפלגות מעריכית
• התפלגות גמא
• התפלגות כי בריבוע
• התפלגות בטא
• התפלגות דיריכלה תבנית:אנ
• התפלגות ברנולי
• התפלגות קטגוריאלית תבנית:אנ
• התפלגות פואסון

כמו כן גם ההתפלגויות הבאות שייכות למשפחה המעריכית, בהינתן שאחד מהפרמטרים שלהן קבוע:

• התפלגות בינומית (עם מספר קבוע של ניסיונות)
• התפלגות מולטינומית (עם מספר קבוע של ניסיונות)
• התפלגות בינומית שלילית (עם מספר קבוע של כישלונות)

דוגמאות להתפלגויות ידועות שאינן שייכות למשפחה המעריכית הן התפלגות t, וההתפלגות האחידה.

הגדרה

משפחה מעריכית חד-פרמטרית היא קבוצת ההתפלגויות שפונקציית הצפיפות שלהן (או פונקציית ההסתברות שלהן, עבור התפלגויות בדידות) ניתנת להצגה בצורה:

$f_X(x\mid \theta )=h(x)\exp (\eta (\theta )\cdot T(x)-A(\theta ))$

כאשר (T(x), h(x), η(θ, ו-(A(θ הן פונקציות, x הוא המשתנה המקרי, ו-θ הוא הפרמטר של פונקציית הצפיפות (או פונקציית ההסתברות).

הגדרה אלטרנטיבית היא קבוצת ההתפלגויות הניתנות להצגה בצורה:

$f_X(x\mid \theta )=h(x)g(\theta )\exp (\eta (\theta )\cdot T(x))$

או באופן שקול:

$f_X(x\mid \theta )=\exp (\eta (\theta )\cdot T(x)-A(\theta )+B(x))$