Testwiki:מיזמי ויקיפדיה/אתר האנציקלופדיה היהודית/מיון נושאים: לוויקי/פאי

פאי שווה להיקף של מעגל שקוטרו 1 (ורדיוסו ½)

במתמטיקה, $\pi$ (האות היוונית פִּי, או פַּאי לפי ההגייה האנגלית) הוא מספר טהור המייצג את היחס הקבוע (בגאומטריה האוקלידית) בין היקף המעגל לקוטרו. $\pi$ הוא קבוע מתמטי שמופיע בנוסחאות רבות במתמטיקה ובפיזיקה. כבר בזמן הקדום ניסו אנשים לקבוע את היחס בין היקף המעגל לקוטרו. המתמטיקאי היווני אנטיפון, הציע את שיטת החישוב בערך בשנת 430 לפנה"ס, ומאוחר יותר שכלל אותה ארכימדס.

הערך מסומן באות היוונית $\pi$ משום שהוא משמש לחישוב היקף מעגל: האות $\pi$ היא הראשונה במילה היוונית "περίμετρος" (פרימטרוס) שמשמעותה היקף. לראשונה השתמש בסימון זה המתמטיקאי הוולשי ויליאם ג'ונס בחיבורו "תצפית הישגי המתמטיקה" ("Synopsis Palmariorum Matheseos" או "a New Introduction to the Mathematics") שכתב בשנת 1706.

$\pi$ הוא מספר טרנסצנדנטי. 100 הספרות הראשונות של הייצוג העשרוני של המספר $\pi$ הן:

3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679

לצרכים מעשיים ניתן להסתפק בדיוק נמוך יותר, ומקובל להסתפק בקירוב 3.14.

תכונות

$\pi$ הוא מספר אי-רציונלי, כלומר אינו ניתן לכתיבה כיחס בין שני מספרים שלמים. תכונה זו הוכחה בשנת 1761 על ידי יוהאן היינריך למברט.תבנית:הערה

בשנת 1882 הוכיח פרדיננד לינדמן את משפט לינדמן ממנו נובע ישירות ש־$\pi$ הוא מספר טרנסצנדנטי.תבנית:הערה מהוכחה זו נובע ש־$\pi$ אינו ניתן להצגה תוך שימוש במספר סופי של מספרים שלמים, שברים או שורשים שלהם יחד עם ארבע פעולות החשבון. כתוצאה מהוכחה זו נובע שלא ניתן, באמצעות בנייה בסרגל ובמחוגה, לבנות ריבוע השווה בשטחו לעיגול נתון – אחת הבעיות הגאומטריות של ימי קדם.

חישוב $\pi$

חישוב ערך מדויק יותר ויותר של $\pi$ היווה אתגר במשך מאות שנים.

באמצעות שיטת המיצוי של ארכימדס ניתן לחשב את ערכו של פאי בכל רמת דיוק רצויה, באמצעות מצולעים משוכללים החוסמים ונחסמים על ידי מעגל. בתמונה מוצג מעגל שבתוכו חסום משושה משוכלל, והוא חסום במשושה משוכלל אחר

קירובים לפאי היו ידועים עוד בבבל ובמצרים העתיקה, אך ארכימדס הציג לראשונה שיטה המאפשרת לחשב את $\pi$ בכל רמת דיוק שתידרש (שיטת המיצוי). השיטה מתבססת על כך שהיקף המעגל קטן מהיקפו של מצולע החוסם את המעגל וגדול מהיקפו של מצולע החסום במעגל. באמצעות חישוב ההיקף של מצולע חוסם ומצולע חסום בעלי מספר הולך וגדל של צלעות נשיג דיוק גדל והולך של היקף המעגל, ובהתאם לכך דיוק גדל והולך של $\pi$. ארכימדס הפעיל את שיטתו על משושה, ובהדרגה הכפיל את מספר הצלעות (תוך שימוש במצולעים משוכללים). מצולע בן 96 צלעות הביא את ארכימדס לתוצאה הבאה תבנית:הערה (המופיעה בספר על המדידה של המעגל):

$3\frac{10}{71}<\pi <3\frac{1}{7}$

בתחילת המאה ה-15 חישב אל-קאשי, מתמטיקאי ואסטרונום פרסי, את $2\pi$ בדיוק של 9 ספרות בבסיס סקסגסימלי, דיוק השקול ל־16 ספרות בבסיס עשרוני.

ההולנדי אדריאן אנטוניזון השיג במאה ה־16 דיוק בן שש ספרות אחרי הנקודה. הוא הציג את $\pi$ באמצעות השבר $\frac{355}{113}$.

בשנת 1596 השתמש ההולנדי לודולף ואן צאולן בשיטתו של ארכימדס, וחישב את $\pi$ בדיוק של 20 ספרות, וכעבור שנים אחדות הגיע לדיוק של 35 ספרות. הוא היה כל כך גאה בהישג זה, עד שציווה לכתוב ספרות אלה על מצבתו. גם הגרמנים התרשמו מאוד מהישג זה, וקראו ל־$\pi$ בשם מספר לודולף.

התפתחות החשבון האינפיניטסימלי במאה ה־17 הביאה שיטות חדשות לחישובו של $\pi$. שיטות אלו מתבססות על ייצוגו של $\pi$ כסכום של טור אינסופי.

טכניקה לא שגרתית לחישובו של $\pi$ היא "שיטת מונטה-קרלו": על לוח עץ נצייר ריבוע שאורך צלעו שתי יחידות. נצייר מעגל חסום בריבוע זה (זהו מעגל שרדיוסו שווה ליחידה אחת), ונתחיל להטיל חיצים אל הריבוע (לא נכוון את החץ למרכז הריבוע, אלא אל הריבוע כולו, באופן אקראי). לאחר מספר רב של הטלות, היחס, בין מספר הפעמים שהחצים פגעו בתוך המעגל למספר הפעמים שבהם פגעו בתוך הריבוע, שואף ליחס שבין שטחי שתי הצורות, שהוא $\pi /4$.

הדוגמה הראשונה לרעיון זה היא שיטת המחט של בופון: כאשר מטילים מחט על משטח שמצוירים עליו קווים ישרים מקבילים שהמרחק ביניהם שווה לאורך המחט, הסיכוי שהמחט תגע בקווים שווה ל־$2/\pi$. ב־1777 ז'ורז' לואי לה קלרק, הרוזן בופון, ביצע את הניסוי כדי להעריך את ערכו של פאי. הניסוי עורר את עניינם של המתמטיקאים בני התקופה, והביא לדיון ער בהבנת מושג ההסתברות.

בשנת 1789 חישב הסלובני יורי וגה את 140 הספרות הראשונות של $\pi$ (רק 137 מתוכן היו נכונות).

השתכללות המחשבים ומציאת אלגוריתמים יעילים יותר לחישובו של $\pi$ אפשרו ב-2011 את חישובו בדיוק של למעלה מ-תבנית:SN ספרות. לתוצאות אלו אין כל ערך מעשי, מלבד הפגנת מהירותם של מחשבי־על ושל אלגוריתמים.

קירובים של $\pi$

קירוב מקובל של $\pi$ כמספר עשרוני הוא 3.14. צורת שבר פשוטה המקרבת את $\pi$, היא $\frac{22}{7}$ או $3\frac{1}{7}$. קירובים אלה מתלכדים עם ערכו האמיתי של $\pi$ בדיוק של שתי ספרות בלבד מימין לנקודה.

ההצגה של פאי כשבר משולב פותחת ב־$\pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,\cdots ]$.

הצגה זו מספקת סדרה של קירובים, שהראשון מביניהם הוא הערך השלם 3, ואחריו באים:

$\frac{22}{7},\frac{333}{106},\frac{355}{113},\frac{104348}{33215},\frac{1043835}{332263},...$

(כדרכם של שברים משולבים, אלו קירובים אופטימליים, במובן הבא: מבין כל השברים בעלי מכנה שאינו עולה על 7, הקרוב ביותר לפאי הוא $\frac{22}{7}$; מבין כל השברים בעלי מכנה שאינו עולה על 106, הקרוב ביותר לפאי הוא $\frac{333}{106}$; וכן הלאה.)

רמנוג'אן הציע קירוב מסוג אחר לפאי: $\sqrt[4]{9^2+\frac{19^2}{22}}$. קירוב זה סוטה מערכו האמיתי של פאי רק בספרה התשיעית מימין לנקודה העשרונית.

קירוב נוסף הוא $\sqrt{2}+\sqrt{3}$, השווה בערך ל-3.146. קירוב זה סוטה מערך פאי רק בספרה השלישית אחרי הנקודה העשרונית.

קירוב נוסף הוא $\sqrt{10}-\frac{1}{49}$ השווה בערך ל-3.1418. קירוב זה סוטה מערך פאי רק בספרה הרביעית אחרי הנקודה העשרונית.

קירוב נוסף הוא $\sqrt[3]{31}$, השווה בערך ל-3.1413. קירוב זה סוטה מערך פאי רק בספרה הרביעית אחרי הנקודה העשרונית.

במקורות היהדות

במקרא בספר מלכים א' (תבנית:תנ"ך) יש התייחסות להיקף המעגל, לפיה היחס הוא אחד לשלושה, תבנית:ציטוטון. ההסבר הרווח לאי-הדיוק הניכר הוא שדרכו של המקרא היא לעגל מספרים, כך שאין ללמוד מכך על תפיסת הערך המדויק של $\pi$ בזמנםתבנית:הערה, או בהסבר שמדובר בקוטר חיצוני ובהיקף פנימי. בנוסף, יש המסבירים זאת בכך שכלי זה לא היה עיגול מושלם עקב העדר טכנולוגיה מתאימה לביצוע מדויק, כלומר ים הנחושת היה אליפטי.תבנית:מקור

לעומת זאת, הגאון מווילנא ציין שרמז ליחס בין הקבוע פאי ובין המספר 3 המובא בפסוק – יחס השווה בקירוב למספר 1.04719, נמצא בקרי וכתיב של המילה שנכתבת קוה ונקראת קו; היחס בין הגימטריה של המילה קוה (111) לשל המילה קו (106) הוא בקירוב ...1.04716. הדבר הנרמז כאן הוא שעל אף שלמעשה היה ראוי לכתוב את המספר המלא של הקבוע פאי, לצורך נוחות הקריאה נכתב רק העיגול של המספר. בנוסף, היו שניסו לתת פרשנויות מתוחכמות יותרתבנית:הערה.

במשנה במסכת עירובין (פ"א מ"ה) נשנה הכלל: "כל שיש בהקיפו שלשה טפחים יש בו רוחב טפח", כלומר היקף המעגל הוא פי שלושה מהקוטר (3=$\pi$). כלל זה בא לידי ביטוי גם במסכת סוכה (דף ז'-ח') שם עוסקת הגמרא בממדיה של סוכה עגולה, ומביאה קירובים שונים להיקף המעגל ואורך האלכסון של ריבוע. גם התוספות במסכת סוכה (ח, א) מתייחסים אל פאי כשווה ל-3. באופן זה במסכת בבא בתרא (י"ג: – ט"ו.) מחושב היחס בין היקפו של האורך של ספר התורה לבין רוחבו, וגם שם הגמרא מתייחסת לפאי כשווה ל-3. מפרשים שונים עמדו על הפער בין ה-$\pi$ כפי שהוא מנוסח בימינו, לבין שיעור חכמים, וניתנו לכך הסברים שוניםתבנית:הערה

בעלי התוספות, ראב"ע וראשונים נוספים מפנים לברייתא של מ"ט מידות שבה נמצא ערך מדויק יותר ל-$\pi$. בברייתא ההיא נאמר בין היתר "...לפי שאמרו בני ארץ, בעגולה שהסביבה (ההיקף) מחזקת שלוש פעמים ושביע בחוט (ביחס לקוטר)"תבנית:הערה. הרי שאף על פי שייתכן והיה ידוע ערך טוב יותר ל-$\pi$, לא ראו החכמים צורך להתייחס אליו מבחינה הלכתית.

הרמב"ם, בן המאה ה-12, הביא, בפירושו למשנה, דברי מומחי ההנדסה בתקופתו, כי "צריך אתה לדעת שיחס קוטר העיגול להיקפו בלתי ידוע, ואי אפשר לדבר עליו לעולם בדיוק, ואין זה חסרון ידיעה מצדנו כמו שחושבים הסכלים, אלא שדבר זה מצד טבעו בלתי נודע ואין במציאותו שייוודע. אבל אפשר לשערו בקירוב"תבנית:הערה. בשפת ימינו ניתן להבין את דבריו של הרמב"ם כמשקפים את הטענה ש־$\pi$ הוא מספר אי־רציונלי.

נוסחאות הקשורות ב־$\pi$

פאי מופיע בנוסחאות מתמטיות רבות. ניתן לצפות שיופיע בנוסחאות הקשורות לשטחי ונפחי צורות מעגליות, שכן הוא מוגדר באמצעות מעגל, אך לעיתים הוא מתגלה גם בתחומים שלכאורה אין בינם ובין גאומטריה או מעגלים קשר ישיר.

גאומטריה

היקף מעגל	$C=2\pi r$
שטח עיגול	$A=\pi r^2$
שטח אליפסה	$A=\pi ab$
נפח כדור	$V=\frac{4\pi r^3}{3}$
שטח פנים של כדור	$A=4\pi r^2$
נפח גליל	$V=\pi r^{2}h$
שטח פנים של גליל	$A=2(\pi r^2)+(2\pi r)h=2\pi r(r+h)$
נפח חרוט	$V=\frac{\pi r^{2}h}{3}$
שטח פנים של חרוט	$A=\pi r\sqrt{r^2+h^2}+\pi r^2=\pi r(r+\sqrt{r^2+h^2})$

אנליזה מתמטית

• נוסחה של פרנסואה וייט, 1593:

$\frac{2}{\pi }=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\dots$

• נוסחת גרגורי-לייבניץ, הקרויה על שם ג'יימס גרגורי (1638–1675) ווילהלם לייבניץ. את הנוסחה גילה גרגורי ב־1672. היא מופיעה גם בספר Ganita-Yukti-Bhasa שכתב המתמטיקאי ההודי Jyesthadeva במחצית המאה ה־16, והמציג מחקרים שנערכו במרכז המחקר Madhava בקרלה שבהודו. הנוסחה קובעת כי

$\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots =\frac{\pi }{4}$

כלומר:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\left(\frac{1}{2n-1}\right)=\frac{\pi }{4}$

(בהקשר רחב יותר, זהו הערך $x=1$ בפיתוח לטור טיילור של $\arctan (x)$)

• מכפלת ואליס:

$\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \frac{8}{7}\cdot \frac{8}{9}\cdots =\frac{\pi }{2}$

• נוסחת האינטגרל של גאוסיאן (התפלגות נורמלית):

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$

• בעיית בזל נפתרה לראשונה על ידי לאונרד אוילר (ראו גם פונקציית זטא של רימן):

$\zeta (2)=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6}$

$\zeta (4)=\frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+\cdots =\frac{{\pi }^4}{90}$

• פונקציית גמא (המהווה הכללה של פונקציית העצרת) בנקודה 1/2:

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$

• נוסחת סטירלינג המשמשת לקירוב עצרת של מספרים גדולים:

$n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$

(מוכיחים את הטענה על ידי פיתוח אסימפטוטי של פונקציית גמא)

• זהות אוילר המתבססת על נוסחת אוילר (שנקראה על ידי ריצ'רד פיינמן "הזהות המופלאה ביותר במתמטיקה", ומקשרת בין חמשת הקבועים המתמטיים הבסיסיים):

$e^{\pi i}+1=0$

• שטחו של רבע מעיגול היחידה:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1-x^2}dx=\frac{\pi }{4}$

• אינטגרל לא אמיתי נוסף:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x^2+1}dx=\pi$

אנליזה מרוכבת

• יישום של משפט השאריות:

$\oint \frac{dz}{z}=2\pi i$

פיזיקה

• זמן המחזור של מטוטלת מתמטית הוא $\text{Time}=2\pi \sqrt{\frac{\text{length}}{\text{gravity}}}$
• קבוע פלאנק h הוא קבוע פיזיקלי שהוצג על ידי מקס פלאנק ומאפיין את העולם הקוונטי. בפועל, מקובל יותר השימוש בקבוע דיראק (קבוע פלאנק המצומצם) שמוגדר להיות $\hslash =\frac{h}{2\pi }$ (מבוטא "h-באר").

שברים משולבים

אפשר להציג את פאי באמצעות שברים משולבים רבים, בהם:

$\pi =3+\frac{1^2}{6+\frac{3^2}{6+\frac{5^2}{6+\frac{7^2}{6+\frac{9^2}{6+\frac{11^2}{6+\frac{13^2}{6+\frac{15^2}{6+\ddots }}}}}}}}$

$\pi =\frac{4}{1+\frac{1^2}{3+\frac{2^2}{5+\frac{3^2}{7+\frac{4^2}{9+\frac{5^2}{11+\frac{6^2}{13+\frac{7^2}{15+\ddots }}}}}}}}$

$\frac{4}{\pi }=1+\frac{1^2}{2+\frac{3^2}{2+\frac{5^2}{2+\frac{7^2}{2+\frac{9^2}{2+\frac{11^2}{2+\frac{13^2}{2+\frac{15^2}{2+\frac{17^2}{2+\ddots }}}}}}}}}$

תורת המספרים

בתורת המספרים יש קשר בין פאי לבין מספר תוצאות:

• ההסתברות ששני מספרים אקראיים יהיו זרים זה לזה היא $6/{\pi }^2$.
• ההסתברות שמספר אקראי יהיה ללא אף מחלק ריבועי היא $6/{\pi }^2$.
• מספר הדרכים הממוצע שבהן ניתן לכתוב מספר טבעי כסכום של שני מספרים ריבועיים הוא $\pi /4$.

כאן אנו מניחים שההסתברות והממוצע נלקחים על קבוצת המספרים הטבעיים עד N, כאשר N שואף לאינסוף.

בעיות פתוחות

בחקר מאפייניו של $\pi$ מתקיימות בעיות פתוחות אחדות. הבולטת שבהן היא השאלה האם $\pi$ הוא מספר נורמלי – מספר ממשי שהספרות שלו מתנהגות כאילו הוגרלו באקראי, כאשר לכל ספרה יש הסתברות שווה להופיע. הידע בסוגיה זו מצומצם ביותר, ובין השאר לא ידוע האם בייצוג העשרוני של $\pi$ כל אחת מהספרות 0,…,9 מופיעה אינסוף פעמים. בשנת 2000 הראו דייוויד ביילי וריצ'רד קרנדל ששאלת הנורמליות של $\pi$ בבסיס בינארי שקולה להשערה ידועה בתורת הכאוס.

בעיה פתוחה נוספת היא השאלה האם הקבוצה $\{\pi ,e\}$ תלויה אלגברית מעל המספרים הרציונליים. ב-1996 הוכיח יורי נסטרנקו כי הקבוצה $\{\pi ,e^{\pi },\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{4})\}$ היא בלתי תלויה אלגברית מעל $\mathbb{Q}$.

הצעות לסימון חלופי

מתמטיקאים ומדענים שונים סברו שבמקום להשתמש ב- $\pi$ כקבוע המעגל היסודי, יש להעדיף למטרה זו את $2\pi$ כדי לפשט ביטויים מתמטיים ואת השימוש ברדיאנים. המתמטיקאי הצרפתי ארמן לורן נהג לכתוב משוואות בהן $2\pi$ משמש כסמל אחד. בשנת 2001 המתמטיקאי האמריקאי רוברט פלאיס הציע להשתמש בסימן $\pi \pi =2\pi$ לייצוג סיבוב אחדתבנית:הערה. תחת זאת, בשנת 2010 הציע הפיזיקאי מייקל הארטל את האות היוונית $\tau$ (לציון Turn)תבנית:כתבנית:הערה. וראו גם סרטון של וי הארט בנושאתבנית:הערה.

$\pi$ בתרבות

קיימים משפטים שונים המשתמשים כעזרי זיכרון עבור ערכו של $\pi$, בכך שמספר האותיות בכל מילה שלהם שווה לספרה המתאימה של $\pi$, למשל זה של המדען האנגלי ג'יימס ג'ינס: תבנית:ציטוט

(מילולית: כמה אני רוצה משקה, אלכוהולי כמובן, אחרי ההרצאות המתישות על מכניקת קוונטים).

יש החוגגים את 14 במרץ (שנרשם בצורת כתיבת התאריכים הנהוגה בארצות הברית כ־3.14) כ"יום פאי", ואחרים חוגגים ביום קירוב פאי ב-22 ביולי (מכיוון שתוצאת החילוק של 22 ב-7 היא בקירוב 3.1429, מעט קרובה יותר ל-$\pi$ מאשר 3.14). מהדרי החג חוגגים אותו בדרך כלל בשעה 1:59 אחר הצהריים (3.14159).

ביום פאי בשנת 2004, קבע הגאון האוטיסט דניאל טאמט שיא אירופי בדקלום המספר, כאשר דקלם אותו עד הספרה ה־22,514 שלו. שיא גינס בדקלום פאי שייך לרג'וויר מינה מהודו שב-21 במרץ 2015 דקלם ללא שגיאה 70,000 ספרות במשך 9 שעות ו-27 דקותתבנית:הערה.

חמשירים אחדים חוברו לכבודו של פאי, הנה אחד מהם: <poem> תבנית:Ltr </poem>

ב־1998 הופק סרט בשם "Pi".

דונלד קנות, מדען המחשב הנודע, ממספר את הגרסאות של תוכנת TeX כך שיילכו ויתקרבו ל־$\pi$: גרסה 3, גרסה 3.1, גרסה 3.14 וכו'. הגרסה הנוכחית היא 3.14159265.

"נקודת פיינמן" הוא כינוי למקומות מספר 763 עד 768 בפיתוח העשרוני של פאי. כל המקומות האלו מכילים את הספרה 9. משערים שפאי הוא מספר נורמלי (דהיינו, הספרות בפיתוח העשרוני שלו מופיעות באופן אקראי כביכול), ואם כך אז הפיתוח העשרוני שלו כולל כל רצף ספרות סופי. עם זאת, מפתיע למצוא שש ספרות זהות רצופות בשלב כה מוקדם של הפיתוח. לשם השוואה, הרצף הדומה הבא, ששה מופעים רצופים של הספרה 8, מתחיל בספרה ה־222,299. השם "נקודת פיינמן" ניתן בעקבות משאלה של הפיזיקאי ריצ'רד פיינמן, לזכור בעל־פה את הפיתוח העשרוני של פאי עד לשלב שבו יוכל לומר "... תשע, תשע, תשע, תשע, תשע, תשע, וכן הלאה", ובכך לרמוז באופן היתולי שפאי הוא מספר רציונלי.

הזמרת קייט בוש הוציאה שיר בשם "$\pi$" כחלק מהתקליט "אריאל". בשיר היא מונה את הספרות מהספרה הראשונה ועד הספרה ה־137, אך מדלגת על הספרות במקומות 79–100.

בספר הבדיוני "מגע" שכתב קרל סייגן מוזכרת עובדה בדויה שבבסיס 11, הספרות של פאי (החל ממקום מרוחק מאד) מתארות מעגל גדול הנתפס כמסר מבורא העולם.

באוקטובר 2014 פורסם סרטון בערוץ יוטיוב "Numberphile"תבנית:הערה עם שבירת שיא העולם בהדפסת ספרותיו של פאי על נייר באורך 1,688 מטרים (שקול בערך למייל אחד). כמות הספרות עמדה על 1,000,000 ספרות שהודפסו בעזרת 8 מיליליטר של דיו בלבד ושתי ספרות נוספות שנכתבו בעט. לשיא אין משמעות מתמטית.

ראו גם

• הצעת חוק פאי
• יום פאי
• קבוע הפרבולה האוניברסלי

לקריאה נוספת

על פאי במקורות היהדות

• הערך "היקף", באנציקלופדיה תלמודית, כרך י.
• ראו במאמרים הבאים (מכתבי עת תורניים):
  • תבנית:מאמר
  • תבנית:מאמר
  • תבנית:מאמר
  • תבנית:מאמר
• רבי שמעון בן צמח דוראן (1361 − 1444), שו"ת תשב"ץ, חלק א' סימן קס"ה (מהדורת למברג, תרנ"א 1891, דפים ס"א − ס"ג)
• ירון ידען, ידיעת חכמים בערך הפאי באתר דעת אמת, אדר א, תש"ס.

קישורים חיצוניים

• רן לוי, מספר הפלא – המסע המרתק אחר הקבוע המפורסם ביותר במדע: ממצרים, דרך יוון, ימי הביניים, הרנסאנס ועד ימינו, כתב העת אודיסאה, גיליון 1, עמ' 38–40, 25 באוגוסט 2014
• Jon McLoone, All Rational Approximations of Pi Are Useless, Wolfram Blog, June 30, 2011
• עזרי זיכרון של פאי (עותק דף שמור מתוך ארכיון האינטרנט)

הערות שוליים

קטגוריה:קבועים מתמטיים קטגוריה:היסטוריה של המתמטיקה קטגוריה:מספרים טרנסצנדנטיים קטגוריה:מעגל קטגוריה:אנציקלופדיה - ערכים מומלצים לשעבר *