פונקציית ליוביל

במתמטיקה, פונקציית ליוביל (על שם המתמטיקאי הצרפתי ז'וזף ליוביל) היא פונקציה אריתמטית חשובה בתורת המספרים, אשר לכל $n$ טבעי היא מוגדרת על ידי:

$\lambda (n)=(-1{)}^{\mathrm{\Omega }(n)}$

כאשר $\mathrm{\Omega }(n)$ הוא מספר המספרים הראשוניים המחלקים את $n$.

ניתן לראות כי $\mathrm{\Omega }(ab)=\mathrm{\Omega }(a)+\mathrm{\Omega }(b)$, אזי $\lambda (ab)=\lambda (a)\lambda (b)$. למספר 1 אין גורמים ראשוניים, לכן $\mathrm{\Omega }(1)=0$ ומכאן $\lambda (1)=1$. בנוסף:

$\sum _{d|n}\lambda (d)=\{\begin{array}{cc}1& :n=k^2\\ 0& :n\ne k^2\end{array}$

ניתן לראות כי פונקציית ליוביל והערך המוחלט של פונקציית מביוס הם הופכי דיריכלה.

פונקציית ליוביל מופיע גם בטורים של פונקציות אחרות, לדוגמה

• $\frac{\zeta (2s)}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\lambda (n)}{n^s}$
• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\lambda (n)\frac{q^n}{1-q^n}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^{n^2}=\frac{1}{2}({\vartheta }_3(q)-1)$

כאשר ${\vartheta }_3(q)$ היא פונקציית תטא של יעקובי תבנית:אנ.

לאורך השניים הוצגו שתי השערות בנוגע לפונקציית ליוביל, אך שתיהן הוכחו כשגויות. הטענה הראשונה הייתה שאם נגדיר את הפונקציה $L(n)=\sum _{k=1}^n\lambda (k)$, אז $L(n)\le 0$ לכל $n>1$. השערה זו ידועה בתור השערת פוליה והוצא על ידי ג'ורג' פוליה בשנת 1919, אך הוכחה כשגויה בשנת 1980, למשל עבור $n=906150257$. הטענה השנייה הייתה שאם נגדיר את הפונקציה $T(n)=\sum _{k=1}^n\frac{\lambda (k)}{k}$ אז $T(n)\ge 0$. השערה זו הוכחה כשגויה בשנת 1958, ולמעשה לפונקציה יש נקודות שליליות רבות. אם השערה זו הייתה נכונה, היה הדבר מוביל להוכחת השערת רימן, כפי שהראה פאל טוראן.

קישורים חיצוניים

• תבנית:MathWorld